成果名称：

高次丢番图方程的求解及其应用

登记日期：

2020-01-11

完成单位：

肇庆学院

完成人员：

张中峰,钟一兵,杜志斌,周方敏,梁亚娜

研究起止日期：

2016-06-01至2019-06-01

主要应用行业：

科学研究和技术服务业

社会经济目标：

非定向研究

评价单位：

广东省科学技术厅

评价日期：

2019-12-12

成果简介：

①课题来源：地方计划 背景：由Baker及其后继者们发展的对数线性型方法,在过去的半个世纪里,解决了许多高次的丢番图方程以及指数丢番图方程.另外,在Wiles成功的证明费马大定理以后,经过许多 数学家的不断努力,一条处理丢番图方程的新途径建立了起来,即模方法.这个方法来源于椭圆曲线与模形式上的Galois表示的深刻结果,现在已经用来处理广义费马方程以及一些 高次的丢番图方程, 但是很多高次丢番图方程的求解仍然很困难. 关于Ramanujan-Nagell型方程的整数解问题, 它来源于信息安全，虽然取得了很多成果，但是仍然有许多问题需要解决. ②研究目的与意义：利用模方法，结合代数数论的知识，解决来源于理论及实际的各种高次方程，不仅有直接的应用价值，而且也可以完善各种方法以及找到他们更广泛的应用；对Ramanujan-Nagell型方程的整数解个数问题进行研究，可以解决信息安全中的出现的一些问题. ③主要论点与论据：研究了形如了f(x)=by^n的高次丢番图方程的整数解问题，其中f(x)为某些特殊类型的整系数多项式；讨论了Ulas关于Ramanujan-Nagell型方程解数的几个猜测；讨论了斐波那契数列中两项方幂和差为方幂的问题. 取得的主要成果: (1) 利用模方法，讨论了高次丢番图方程(x-d)^4+x^4+(x+d)^4= y^n的解，对于某些类型的整数d，完整或者部分的解决了该方程的整数解问题.对于方程(x-1)^3+x^5+(x+1)^3= y^n以及(x-1)^5+x^3+(x+1)^5= y^n，完整的确定了方程满足n>1的所有整数解. (2) 在完成Ulas关于Ramanujan-Nagell型方程的解数的两个猜测的证明的基础上，继续展开对Ulas两个更一般猜测的研究，即 (i) 方程x^2+k^n=B的非负整数解(x,n)不超过3组；(ii) 方程x^2+Ak^n=B的非负整数解(x,n)不超过4组. 对于k为素数，完整的解决了猜测（i）；对于k为素数，A=2,4，完整的解决了猜测（ii）；对于k为素数，以及一般的A，证明了当B大于某个依赖于A的数时，猜测（ii）成立. 关于k为合数情形，还需要进一步的研究. (3) 讨论了和斐波那契数列有关的方程Fn^q±Fm^q= y^p，其中Fn为斐波那契数列中的项， p,q为大于1的正整数. 对q=2或模4余3且小于1087的素数时方程的解进行了研究，求出了n,m有相同奇偶性时的解.完整求出了q=3时方程的解.   (4) 证明了对任意整数a,b，和商高方程有关的方程z^2=(x(x+1)(x+2))^2+(y(y+a)(y+b))^2有无穷多组整数解. ④创见与创新：对高次丢番图方程(x-d)^4+x^4+(x+d)^4= y^n的讨论，是首次把三个连续整数的方幂和为方幂的问题，推广到等差数列上，该推广有一定的意义且引起不少同行的兴趣. 对Ulas的两个一般性猜测的部分证明，是目前关于该猜测的最好结果. 对方程Fn^q±Fm^q=   y^p的讨论，推广了Luca和Patel的结果.对q=3时的无条件结果受到审稿人的称赞. ⑤社会经济效益，存在的问题：应用的周期比较长，暂无明显的经济效益. ⑥历年获奖情况: 无.